题23

题23

题目

[!question]+
设 为 3 阶实对称矩阵, 的秩为 2,且

( I ) 求 的所有特征值与特征向量;
( II ) 求矩阵 .

分析

[!NOTE]+
注意要多用，实对称矩阵的特征向量两两正交这个条件

解

[!done]-
解 (I) 由于 ,故 满足

,从而 为 的属于特征值 -1 的特征向量, 为 的属于特征值 1 的特征向量.

又因为 ,所以 还有一个特征值为零.

因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,所以 的属于特征值 0 的特征向量 满足 ,从而得 由此可得 为任意非零常数.

因此, 的特征值为 . 对应的特征向量分别为 , 其中 为任意非零常数.

(II) (法一) 由第 (I) 问可知,取 ,可得

. 于是 .

利用初等变换法计算 .

于是, .

因此,

或者, 由

可得,

(法二) 将 单位化,组成一正交矩阵 ,则 .

因此,

注 若把 设为 ,然后由 得到一个 6 元线性方程

组,对其求解得到 ,之后再求第 (I) 问的解. 这样做是可行的,但是比较麻烦,不推荐使用.