题7

题7

题目

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设 均为 阶矩阵. 若 ,且 可逆,则 ( )
(A) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价.
(B) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价.
(C) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价.
(D) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
等价向量组： 若向量组 与向量组 能相互线性表示,则称这两个向量组等价. 若两向量组等价, 则这两个向量组的秩相等, 但反之并不一定成立.

由于右乘可逆矩阵对应的是对原矩阵作一系列的初等列变换,故可考虑证明 与 的列向量组等价.

解 我们证明 的列向量组与 的列向量组能相互线性表示.

不妨设 ,则

因此, 的列向量组 能由 的列向量组 线性表示. 同理,由于 可逆,故 的列向量组也能由 的列向量组线性表示. 应选 B.

下面我们说明选项 A、C、D 不正确.

选项 A: 令 ,则 . 但 的行向量组

与 的行向量组 不等价.

选项 : 取 为单位矩阵 为一个非满秩矩阵. 的行 (列) 向量组线性无关, 的行 (列) 向量组线性相关.

注 我们可以从另一角度来看本题的结论.

由于 可逆,故存在有限个初等矩阵 ,使得 ,从而

由于右乘初等矩阵等价于对原矩阵作初等列变换,故 的列向量为 的列向量的线性组合, 之后每一步操作所得矩阵的列向量均为前一个矩阵的列向量的线性组合. 于是,经过有限次这样的操作后,所得矩阵 的每一个列向量都可以写成 的列向量的线性组合.

又由于 可逆,这样的操作有逆操作,故 的每一个列向量也都可以写成 的列向量的线性组合.

因此 的列向量组与 的列向量组等价.

同理,若 ,且 可逆,则我们可以得到矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价.