题18

题18

题目

[!question]+
已知函数 由方程 确定,求 的极值.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解对方程两端关于求导，得

整理得

由于，故的全部驻点为和.

将代入方程，得. 通过观察发现是该方程的一个根. 由于，故关于单调增加.是的唯一实根，.

将代入方程，得，即. 是该方程的唯一实根，.

下面用两种方法来判断驻点的极值点类型.

(法一) 对(1)式两端关于求导，得

利用(2)式计算驻点处的二阶导数.

由于在驻点处，，故当时，

当时，(3)式化为; 当时，(3)式化为. 因此，为极大值，为极小值.

(法二) 由(1)式可得. 注意到恒大于零，故与的性质如下表.

	单调减少	极小值	单调增加	极大值	单调减少

因此，为极大值，为极小值.

注 的图像大致如下.