题22

题22

题目

[!question]+
已知二次型 .
( I ) 求正交变换 将 化为标准形;
( II ) 证明: .

分析

[!NOTE]+
例9.6里面我们做过，要注意这里二次型中的的含义是什么，指的是

解

[!done]-
第 (I) 问较常规,写出 对应的对称矩阵 ,计算 的一组线性无关的特征向量并单位正交化即可.

注意到

即正交变换并不改变向量的长度,故可以利用第 (I) 问所得标准形讨论 的值.

解 (I) 由 的表达式可得 对应的矩阵 .

计算 的特征多项式.

的特征值为 .

分别计算 的属于特征值 4 和 2 的特征向量.

考虑 .

和 为 的属于特征值 4 的两个线性无关的特征向量.

考虑 .

为 的属于特征值 2 的一个特征向量.

由于 相互正交,故只需将它们各自单位化即可得一组相互正交的单位特征向量.

令 ,可得 ,即正交变换 将二次型 化为标准形 .

(II) 由第(I) 问可知,在正交变换 下, 的标准形为 . 又因为

所以对 ,

取 满足 ,即 时,可得 .

因此, .

注 实际上,由第 (II) 问的方法,我们还可以得到 . 对 ,

取 满足 不全为零, ,即 时,可得 .