题22

题22

题目

[!question]+
(22) (本题满分 11 分)
设向量组 不能由向量组 , 线性表示.
( I ) 求 的值;
( II ) 将 用 线性表示.

分析

[!NOTE]+
向量组的线性表示转化为矩阵方程有没有解的问题，也就是非齐次线性方程组的解，能不能有解，显然两边如果矩阵的秩都不同，显然是无解的

第二问针对矩阵有可逆矩阵的矩阵方程求解，应该用初等变换来做，而不是去算，我这里就算错了

解

[!done]-
解 (I) 记 的列向量组分别记为 .

首先, ,故 满秩.

由于向量组 不能线性表示 ,故 ; 否则 也满秩,从而 能线性表示 ,矛盾.

由于 ,故

因此, .

(II) (法一) 求 用 的线性表示,相当于求 的解. 的列向量的坐标为线性表示的系数,即 .

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每做一次初等行变换,加一个 .)

因此, 的解为 的解为 的解为 .

(法二) 用克拉默法则分别求 的解. 的分量为线性表示的系数,即 .

首先,可计算得 . 由克拉默法则知, 的解为

因此, . 同理可得 .

注 法一比法二要简捷, 这种从整体上进行处理的方法正是我们学习线性代数要培养的思维.