题16

题16

题目

[!question]+
已知函数 连续且 ,求 并证明 在 处连续.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解本题需要注意区分某点处导数存在与该点处导函数连续。

在处可导应满足。

在处连续应满足①存在；②。

本题中，可以通过换元法转化为变限积分，从而可以通过变限积分求导计算。

解 对进行恒等变形。

由可知，分母趋于零，而极限存在，故。又因为连续，所以。于是，。

当时，

当时，根据导数的定义计算。

因此，

计算。

由于，故在处连续。

注① 本题是一道综合性较强的试题，解题关键为利用换元法将转化为变限积分。此外，在具体计算过程中，也有一些细节需要注意。下面我们指出本题的解题过程中可能出现的问题。

(I) 计算的表达式时，利用得到，从而将或代入。要注意：仅在附近有意义。对于在区间上的积分，这样的代换是错误的。

(II) 直接对关于求导计算，得到。此种做法成立的条件是具有连续导数，并且，即便该条件得到满足，应用含参变量积分的求导公式得到的也是，而不是。

(III) 不能得到正确的。利用换元法只能得到时的的表达式，我们还应根据的定义以及已知条件得到的值。此外，是的分界点，应根据导数的定义来计算。

(IV) 计算时，不能使用洛必达法则。因为此处可以使用洛必达法则的前提条件是极限式的分子、分母在的去心邻域内可导，但由已知条件我们并不知道是否可导。

② 本题与1997年数学一、数学二的一道真题几乎一致。大家在复习时一定要重视真题。

【例】设连续，，且，求并讨论在处的连续性。(1997年数学一、二试题)

答案 在处连续。