题23

题23

题目

[!question]+
设二次型 ,记

(I) 证明二次型 对应的矩阵为 ;
(II) 若 正交且均为单位向量,证明 在正交变换下的标准形为 .

分析

[!NOTE]+
二次型这里的实对称矩阵这块，注意要利用这个对称性来做向量组的乘法，也就是这里记，对应着一项有，这里的，回到定义上，二次型通过变量的向量组和系数矩阵向量组的乘法组合来组合出来的，核心还是做出来这个结构，利用这个转置的结构
关于第二问，我在这里第一次建立这个直觉，A矩阵的秩不满秩，A就一定有零特征值，这是因为两边取行列式，而最右侧这里，就是特征多项式的定义

解

[!done]-
证 (I) 记 对应的矩阵为 为对称矩阵,则

又由于 ,故 是对称矩阵. 于是 为所求 .

(II) (法一) 由 且 与 相互正交 得,

因此,2,1 均为 的特征值,而 分别为属于特征值 2,1 的特征向量.

下面还需确定 的另一个特征值.

考虑 的秩.

由于对任何非零 维列向量 ,矩阵 的秩均为 1,故

于是, 不满秩,0 也是 的特征值.

因此,存在正交矩阵 使得 在正交变换 下的标准形为

(法二) 取 为与 均正交的单位向量,可取 为向量 的向量积, 是向量 的模),则 为正交矩阵.

由于 相互正交,故 .

因此, 在正交变换 下的标准形为 . 又更多

注 ① 法一中,用到了 “对任何非零 维列向量 ,矩阵 的秩均为 1 ” 这条结论.

下面简单说明该结论. 记 ,则 . 由于 均为非零向量,故 .

② 将 的各项展开,再写出 对应的对称矩阵的做法,计算量较大,不能算是一种好办法.