题19

题19

题目

[!question]+
已知 是二阶微分方程 的两个解. 若 ,求 ,并写出该微分方程的通解.

分析

[!NOTE]+
本质上这是二阶变系数线性微分方程，但是数二不考欧拉方程，所以其实是想让我们深刻理解二阶线性微分方程解的结构，也就是两个线性无关的特解的线性组合，是通解，也就是，而题目已经给了待定的式子，还是这个带入的思想，直接带入

解

[!done]-
解 计算 .

将 代入 并整理,得

由于 ,故

(1) 式为可降阶微分方程. 令 ,则得 . 由分离变量法,得

上式两端同时积分,得 ,其中 为待定常数, .

我们不妨去掉绝对值符号,记 ,从而

其中 为待定常数,可能为正值,也可能为负值.

（2）式两端同时关于 积分得,

其中 为待定常数.

由题目条件, ,代入 的表达式得 解得 , . 于是, .

为二阶齐次线性微分方程 的两个线性无关的解. 因此,由齐次线性微分方程的解的结构知,原方程的通解为 ,其中 为任意常数.