题20

题20

题目

[!question]+
已知曲线 ,点 ,点 . 设 是 上的动点, 是直线 与直线 及曲线 所围图形的面积. 若 运动到点 时沿 轴正向的速度是 4,求此时 关于时间 的变化率.

分析

[!NOTE]+

应用题的核心就是链式法则

解

[!done]-
本题中, 随着点 的移动而变化,可以写成关于点 的横坐标 的函数 . 求得 的表达式后,再利用 得到所求变化率.

本题中,既可以利用定积分计算 ,也可以利用二重积分计算 .

解 曲线 如图所示,直线 与直线 及曲线 所围区域为 . 设点 的坐标为 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 ,则点 的坐标为 . 由于点 位于曲线 上,故点 的坐标可写为 .

下面用三种方法计算 .

(法一) 区域 的面积 等于梯形 的面积 减去曲边三角形 的面积 .

由图可知,梯形 的两条底边长分别为 1 和 ,高为 . 根据梯形的面积公式,

根据定积分的几何意义,曲边三角形 的面积 .

因此,

(法二) 直线 的方程为

根据定积分的几何意义,

(法三) 由法二可得直线 的方程为 .

将区域 看作 型区域,区域 可表示为

根据二重积分的几何意义,

根据链式法则,

当 时, . 因此,

因此,所求 关于时间 的变化率为 10 .