例6.10

例6.10

题目

P142 设函数 在 上一阶可导,在 内二阶可导,且

证明:
(1) 存在 ,使得 ;
(2) 存在 ,使得 ;
(3) 存在 ,使得 .

分析

第1问是例6.1里做过的，只不过它让证明这种形式
证明的各种关系，现在有三种手段

• 一种是，构造一个这种结构，然后求导得到
• 另一种是去泰勒展开里面找这一项
• 第三种其实也算是第一种，比如题目这里的第三问，也直接差了一辈，只有和，可以手动补项，补一个
  (1) 由例 6.1 知,存在 ,使得 .
  (2) 令 ,则函数 在 上一阶可导,且

所以存在 ,使得 ,故

令 ,有 . 因此存在 ,使

(3) 由 ,令 ,则 ,所以存在 ,使得 ,即 ,故 .

解

本题的难点在于证明 的各种关系，第一问是证明 这种形式，而第二三问需要证明 或者
重点是第三问怎么用费马定理，第三问可以构造两种
一种是
另一种是
无论哪一种都可以用费马定理，主要的关键在于知道端点 和 都是大于0的，如果在ab之间找到一个小于0的 ，在 和 上分别用拉格朗日中值定理，就可以得到两个导数，分别是一正一负，那么在中间必然有一个点，导数为0。

构造函数

由于 , 且 ，所以 和 同号。

• 当 时，根据 可知，图像在 点上升，在 点也上升，所以在 上存在最小值，即 。
• 当 时，根据 可知，图像在 点下降，在 点也下降，所以在 上存在最大值，即 。
  所以 与 同号。
  又因为 ，且 ，所以 与 异号。
  根据零点定理，在 和 上分别存在一点使得 ，设为 ，则在 上存在一点使得 ，即存在 ，使得 。