相似对角化

Q:判断是否可以相似对角化的流程：
A:先看对称，再解方程看有没有重根，最后再算特征向量
① 判断 是否实对称.
② 求 特征值，看是否均为单根.
③ 有 重特征值，求特征向量，看其个数是否等于线性无关的列向量个数.

把矩阵在特征向量的作用下，把原矩阵对空间变化作用中，最能表示矩阵变换作用的部分抽离出来，也就是特征值，用特征值来量化，矩阵对空间的作用，叫做相似对角化，这个名字也是因为，此时 满足相似矩阵的定义，我们说矩阵A和特征值矩阵是相似的

这里 和 的作用顺序又该如何理解

注意这个逆过程，也就是把特征值矩阵，变换回作用的原矩阵的过程，也就是特征值矩阵

这个逆过程典型的就是求矩阵的幂，见题5.14，特别的，这里的A还可以代换为其他众多与A相关的关于A的量，比如伴随矩阵或者矩阵的逆或者关于A的行列式

A可以相似对角化就是要找到说明A有n个线性无关的向量 09:54

Q: 可相似对角化，可以导出哪些结论？
A:相似对角化是一个可逆的变换过程，应该这样理解
使
,
, 使
使得
使得
有 个线性无关的特征向量

另一方面，判断矩阵是否相似于某个题目已给出的对角矩阵，亦或者原矩阵是残缺的，要反求，总之不是顺向的思维，直接从矩阵硬计算求对角矩阵
主要是判断特征值，验证，特征值是否为单根，然后满秩；如果不是单根，是r重根，就应该验证，这个r重特征值，是否对应了r个特征向量，如果少于r个，必然不可相似对角化，这个题目主要看题5.9

Q: 可相似对角化的充要条件
A: 有 个线性无关的特征向量.
的 重特征值对应 个线性无关的特征向量.

Q:哪些条件可以推出A可以相似对角化，但是反过来不行，也就是充分不必要条件
A:当 为实对称矩阵 可相似对角化.
的特征值均为单根 可相似对角化.

Q:来自于例8.6的手法，给了B可以被一个可以相似对角化的矩阵A，用一个矩阵多项式表示，那么B可以相似对角化写成对于对角矩阵的多项式
A:

上下三角矩阵的特征值就依次是对角线上的元素，如果全为k，一定不能相似对角化

Q:通过反证来说明是否可以相似对角化
A:下面不能相似对角化的矩阵是哪个

A是实对称矩阵，一定可以对角化
剩下的几个，必须动手算一算列出特征多项式，似乎没有什么很快的方法
D是3个不同的特征值，所以可以相似对角化

也可以站在上下三角矩阵的角度上看，BCD这里都是上下三角的矩阵，特征值就是对角线上的元素，D三个不同，一定可以做相似对角化，B、C如果对角线上3个都相同，一定不可以做相似对角化，但是这里是，两个相同，就通过反证它相似于对角矩阵，通过矩阵相似的性质来判断
。以B为例，如果可以相似对角化，那么B相似于，这个对角矩阵的秩是1，而B的秩是2，所以B不可以相似对角化
同理，C是可以相似对角化的