题7

题7

题目

[!question]+
(7) 设 是可逆矩阵,且 与 相似,则下列结论错误的是 ( )
(A) 与 相似.
(B) 与 相似.
(C) 与 相似.
(D) 与 相似.

分析

[!NOTE]+
这里看错题目了，要选错误的是什么

解

[!done]-
从选项 和选项 中辨别错误选项是本题的难点. 这里要用到一个结论: 若 为可逆方阵,则

此外, 请注意矩阵乘积的转置和逆的计算.

若 为同阶矩阵,则 .

若 为同阶可逆矩阵,则 .

解 由于 与 相似,故存在可逆矩阵 ,使得 .

• ,选项 中的结论正确.
• ,选项 中的结论正确.
• 由 和 可知, ,选项 D 中的结论正确. 由排除法可知,应选 C.

下面我们举例说明选项 不正确.

设 ,则 . 令

则

计算 的特征多项式得 ,计算 的特征多项式得 . 因此 和 不相似.

注 均为实对称矩阵,且 与 相似,则 和 矩阵相似.

下面简单证明一下该结论.

若 均为实对称矩阵,则 . 由 与 相似能推出 与 相似,即 和 相似.