题5

题5

题目

设函数 . 若 , 则
(A) 1 .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

解

分析 本题主要考查未定式极限的计算. 本题的解题关键在于由已知条件写出 的表达式. 由 得 ,再由 可以解出 关于 的表达式.

解 由于 ,故 . 由于 ,解

得 .

下面我们用两种方法计算上面的极限.

(法一) 由于 的 3 阶泰勒公式为 ,故当 时,

应选 D.

(法二) 利用洛必达法则计算该极限.

注 ① 实际上,条件 “ ” 可以由拉格朗日中值定理得到.

对函数 在 或 上应用拉格朗日中值定理,得

由于 ,故 .

② 在计算中,要注意使用等价无穷小替换 “ ” 简化计算. 如果直接使用洛必达法则, 那么计算会复杂许多.