矩阵合同

矩阵合同的判定

Q:同阶实对称矩阵 合同的判定
A:1. 用定义法： 合同存在可逆矩阵，使得
2. 用正、负惯性指数： 合同(相同的正、负惯性指数).
事实上，与的正、负特征值的个数分别对应相同.
3. 用传递性：合同于，合同于，则合同于
4. 用相似：同阶实对称矩阵，相似必合同.

两类问题：

1. 已知( 是对角矩阵)，求可逆矩阵，使得
2. 已知 (不是对角矩阵)，求可逆矩阵，使得：题22

合同变换

Q:什么是合同变换？
A:用 的多项式分别去换元 ，把换元中 的组合系数就是变换矩阵

记 ,则 式可写为

这个过程和基变换是一样的
现给出 ,令 ,则

记 ,则

此时,二次型 通过线性变换 得到一个新二次型 .

可以通过初等变换来找这个，如果他说了是可逆，同时给出了A和B，也就是有起点和终点，手段是可逆矩阵，那么就可以通过初等变换，像是求矩阵的逆一样来求这个，在例9.9和例9.10里有涉及这个手法

矩阵合同的定义

Q:两个矩阵合同，应该满足什么式子？
A:对于这种和相似矩阵类似的结构

其中C是可逆矩阵
则称 与 合同,记作 . 此时称其对应的二次型 与 为合同二次型.

矩阵合同的性质

Q:矩阵合同和矩阵的秩有什么关系？
A:矩阵合同，那么两个矩阵的秩相同，若 ,则有
可逆线性变换不会改变二次型的秩（对这句话没啥理解），尤其要注意变换手段不可逆的时候：题22，也就是系数矩阵A不满秩的时候

Q:合同矩阵和对称矩阵有什么关系？
A:在二次型中, 二次型的矩阵都是对称矩阵, 因此和对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵

合同针对同型来描述，实对称矩阵只会和实对称矩阵合同，反对称矩阵只会和反对称矩阵合同