题23

题23

题目

[!question]+
设二次型

( I ) 求二次型 的矩阵的所有特征值;
(II) 若二次型 的规范形为 ,求 的值.

分析

[!NOTE]+
对二次型进行配方法换元这个过程就是矩阵合同，合同的两个矩阵它们的正负惯性指数相同，也就是说特征值的正负符号相同，特征值的正负符号相同决定了a的值

解

[!done]-
解 (I) 二次型 的矩阵为 .

计算 的特征多项式 ,得

因此, 的特征值为 .

(II) 由 的规范形为 知, 的特征值有两个正数,一个为零. 0 为最小的特征值. 由于 ,故可知 ,即 .

注 实对称矩阵的特征值是它对应的二次型在正交变换下的标准形的系数, 而不是规范形的系数. 因此, 的规范形为 并不能说明 的特征值为 ,只能说明 有两个正特征值,一个零特征值.