题6

题6

题目

[!question]+
设 是圆域 在第 象限的部分. 记 ,则 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .

分析

[!NOTE]+
轮换对称性简化二重积分，轮换x和y的位置，二重积分不变

解

[!done]-
若被积函数在积分区域上连续非负且不恒等于零, 则相应的二重积分大于零.

(解) (法一) 由于在第一象限内 ,第二象限内 ,第三象限内 , ,第四象限内 ,故被积函数 在第二象限内恒大于零,从而 . 应选 B.

(法二) 在极坐标系下计算 .

分别求得

. 应选 B.

(注) 利用轮换对称性,我们可以较快得出 . 如图所示, 和 关于直线 对称. 在直线 之上的半平面中, ; 在直线 之下的半平面中, .

由此可以看出,

同理, .