题5

题5

题目

[!question]+
Q:已知平面区域




则 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
A:本题中, 所给二重积分的积分区域相同, 故要比较它们的大小, 可以比较相应被积函数的大小，也就是定积分的保号性

解

[!done]-

解 如图所示,区域 由四条直线 围成. 该区域包含于圆心在原点,半径为 的圆盘区域 . 于是,在区域 内, 点 满足 .

令 . 由于在 内, ,故对区域 内的点,均有 . 由定积分的保号性可知, .

考虑 与 的大小关系. 令 ,则 . 当 时, 单调增加; 当 时, 单调减少. 于是, 在 上的最大值为 ,最小值为 . 在 上, ,即 ,且等号仅当 和 时取得.

因此,对区域 内的点,均有 . 由定积分的保号性可知, . 综上所述, . 应选 A.

注 下图给出了 上, 三条曲线的图形.