题19

题19

题目

[!question]+
设函数 在区间 上具有 2 阶导数,且 . 证明:
(I) 方程 在区间 内至少存在一个实根;
(II) 方程 在区间 内至少存在两个不同实根.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
罗尔定理 若函数 在 上连续,在 内可导,且 ,则 内至少存在一点 ,使得 .

第(I) 问要证明方程 在区间 内至少存在一个实根,可以利用连续函数的零点定理. 由于 ,故可以考虑证明在 附近 . 这可以利用函数极限的局部保号性得到.

通过观察发现, ,故不妨设辅助函数 . 如果能找到三个点,使得在这三个点上 取值相等,那么使用两次罗尔定理即可得到两个满足 的点.

此时,第 (I) 问的结论给出了 的一个零点. 我们可以考虑找到另外两个点,使得在这三个点上, .

(II) 由于 ,故由函数极限的局部保号性可知,存在 ,在 内, ,

从而 . 取 ,则 . 灯考研 ] ，获取更多

又因为 ,所以由连续函数的零点定理知,存在 使得 . 因此, 在区间 内至少存在一个实根.

(II) 考虑 ,则

第 ( II ) 问等价于证明 在区间 内至少存在两个不同实根.

若能找到三个点 ,使得 ,则由罗尔定理,存在 , ,满足 .

由 知,分母趋于零,而极限仍存在,故

由第 (I) 问的结论知,存在 ,满足 ,从而

另一方面,由于 ,故由罗尔定理知,存在 ,使得 ,从而 .

如图所示, . 由罗尔定理知,存在 ,使得 ; 存在 ,使得 . 命题得证.

注 本题的证明思路: 找到三个点,使得函数 在这三个点上取值相等,从而可以运用两次罗尔定理,得到两个 的点.