施密特正交化

Q:施密特正交化的核心在于是什么？什么减去什么？
A:核心在于，先给定一个原式的基础
然后用减去，在上的投影，得到
这个投影的计算是用和的内积除以的模长，也就是在这个基础上的单位长度

什么是标准正交化？
标准正交化是将一组线性无关的向量，变换为一组两两正交且长度为1的向量，这组向量被称为标准正交基。

如何进行标准正交化?

我们一般使用施密特正交化方法来进行标准正交化。
对于一组线性无关的向量 , 施密特正交化的步骤如下：

1. 正交化:
   • 第一个向量 直接使用原向量 : .
   • 第二个向量 需要减去它在 上的投影： ， 其中 表示向量 和 的内积.（投影长度除以u1作为单位的单位长度）
   • 第三个向量 需要减去它在 和 上的投影：。
   • 以此类推, 直到得到 。
2. 单位化:
   • 将正交化得到的向量单位化:
     ,
     ,… ,
     .
     最终得到的向量组 就是标准正交基.

举个例子
假设我们有三个线性无关的向量:

, , .
步骤 1: 正交化

• .
• .
• .
  步骤 2: 单位化
• .
• .
• .
  最终得到的 就是一组标准正交基.