题22

题22

题目

[!question]+
设

(I) 求满足 的所有向量 ;
(II) 对 (I) 中的任意向量 ,证明 线性无关.

分析

[!NOTE]+
这里的矩阵是不可逆的，考虑直接解矩阵方程

解

[!done]-
解 (I) 解 ,这是一个非齐次线性方程组.

( 表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行,每做一次初等行变换,加一个 .)

于是 有无穷多解. 其对应的齐次方程组等价于 故可取 为它的一个基础解系. 另外, 的一个特解为 .

因此, 的通解为 ,其中 为任意常数.

于是 有无穷多解. 其对应的齐次方程组等价于 ,故可取 和 为它的一个基础解系. 另外, 的一个特解为 .

因此, 的通解为 ,其中 为任意常数. ( II ) (法一) 通过计算可知,

从而 . 我们可以利用该性质推出 线性无关.

不妨设 . 该等式两端同时左乘 ,得

由于 为非零向量,故 . 于是 . 再在 两端同时左乘 ,得

同理得 . 由于 ,故 . 从而 .

因此, 线性无关.

(法二) 由第 (I) 问,我们得到 的表达式,从而可以通过计算 来说明 线性无关.

因此, 线性无关.