题16

题16

题目

[!error]+
设向量,若线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则___

分析

[!NOTE]+
矩阵里面两行两列两两不成比例，那么秩至少是2，这是因为这两个不成比例的行列，可以组成一个二阶主子式

本质上是理解这个秩至少是多少，有一个相似的题目：题3.1

解

[!done]-
由 线性相关可得, , 再由 中任意两个向量均线性无关可得, . 因此, , 我们可利用该性质来确定 的值.

矩阵的秩 设在矩阵 中有一个不等于 0 的 阶子式 , 且所有 阶子式 (若存在的话) 全等于 0, 则 称为矩阵 的最高阶非零子式, 数 称为矩阵 的秩, 记作 . 规定零矩阵的秩等于 0.

解) (法一) 由于 线性相关, 故该向量组的秩小于 3, 从而 . 又因为该向量组中任意两个向量均线线性无关, 所以该向量组的秩不小于 2, 从而 . 于是,

由 可得, 矩阵 的任意一个 3 阶子式均为 0 . 于是,

由此可得 或 . 但是当 时, , 从而 线性相关, 不符合题意. 于是, .

代入 , 再由矩阵 的任意一个 3 阶子式均为 0 可得

解得 .

因此, .

(法二) 同法一可得 .

对矩阵 作初等行变换.

当 或 时, .

当 时,

由此可得 线性相关, 不符合题意.

当 时,

由 可得 , 即 .

因此, .