题21

题21

题目

[!question]+
设函数 在 上有二阶连续导数. 证明:
(I) 若 ,则存在 ,使得 ;
(II) 若 在 内取得极值,则存在 ,使得

分析

[!NOTE]+
我们做过很多这种：例6.50
注意下面第二问应该是写成两个然后通过极值来处理，根据极值性质，在两者中，放缩成一个大的，我习惯性的写成了一个，然后错误的把两个二分之，夹起来了

解

[!done]-
带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 设函数 在 上具有二阶导数, 为 内一点,则 在 处的带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式为

其中 介于 与 之间.

本题的两问均可以考虑利用带拉格朗日型余项的泰勒公式辅助计算.

由第 问的条件 ,可以考虑 在 处的泰勒公式,并分别代入 与 两个点.

由第 ( II ) 问中取得极值的条件,可以考虑 在极值点处的泰勒公式,并分别代入 与 两个点.

证 (I) 由 的泰勒公式可得

其中 . 两式相加可得

记 ,则由 (1) 式可得

由于 在 上有二阶连续导数,故由连续函数的介值定理可知,存在 ,使得 .

(II) 设 在 内的极值点为 ,则 . 由 的泰勒公式可得

其中 . 两式相减可得

记 ,则由 (2) 式可得

因此, .

取 使得 ,则 满足 .