题21
题目
[!question]+
设数列 满足: . 证明 收敛,并求
分析
[!NOTE]+
又是数列收敛的证明，核心想法还是用单调有界准则，单调性往往通过构造函数来取得。这个地方出现了指数，所以要考虑两边取对数，化成对数的加减。这道题我中途算错了，但整体的思路是正确的，算错的原因在于：，它只是的后一项。我们当时并不知道前一项和后一项的大小关系。但是呢，我当时看见这个和，就下意识地认为是比大的，也就是数列的后一项是比前一项大的。然后我通过单调性就下结论。事实上，这个地方因为不知道和谁大谁小，所以可以用反证的方法，如果它是单调递增的，但是最后它却没有上界，也就无法收敛，所以它就是发散的，那么只能是它是单调递减的。然后我们找到了下界。此时证明了这个东西，它是收敛的。
解
[!done]-
分析 本题综合考查了利用导数判断函数的单调性以及利用单调有界准则证明数列极限的存在性。
本题中，数列 由递推关系式给出，证明 的单调性或有界性时，可以使用数学归纳法。
(解) 由 可得，
先用数学归纳法证明对所有的正整数 ，都有 。
首先，。
假设当 时，。注意到当 时，，从而 。于是，
由数学归纳法可知，对所有的正整数 ，都有 。
因此，数列 有下界。
下面用两种方法证明数列 单调减少，即 。
(法一) 由 可知，
其中 。
由于 单调增加，故由 可得 ，即数列 单调减少。
（法二）
记 ，则 。
当 时，， 在 上单调减少，于是，。从而，当 时，
即 。
又因为对所有的正整数 ，都有 ，所以 ，即 。
因此，数列 单调减少。
由单调有界准则可知，数列 收敛。由于对所有的正整数 ，都有 ，故 。
对 两端同时令 ，可得 。
由前面的结果可知， 是 在 上的唯一零点。因此，，即 。