题8

题8

题目

[!question]+
Q:设 是 3 阶实对称矩阵, 是 3 阶单位矩阵. 若 ,且 ,则二次型 的规范形为( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
A:规范形和特征值的正负有关，也就是正负惯性指数，这里需要用到特征值本身继承多项式，可以形成新的特征多项式

解

[!done]-
由已知条件可推知 的特征值,而二次型在正交变换下的标准形的系数为其对应的实对称矩阵的特征值, 从而可知该二次型的规范形
解 设 为 的一个特征值, 为属于特征值 的特征向量.
由 可得 . 由于 为非零向量,故 . 解得 或 . A 的特征值只能取 1 和 -2 .
又因为 ,所以 的特征值应为 . 因此,二次型 的正惯性指数为 1,负惯性指数为 2. 四个选项中,只有 满足该性质. 应选 C.