题8
题目
[!question]+
(8) 设二次型 的正负惯性指数分别为 1,2, 则( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) 或 .
分析
[!NOTE]+
注意这里要防止f是正定二次型，也就是不能系数矩阵是正定矩阵，这也是我，有一半没算出来的原因
解
[!done]-
分析 本题主要考查二次型的正、负惯性指数. 此类题可以通过求二次型对应的对称矩阵的特征值来判断.
实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件为下列任一条件.
(1) 的特征值全为正;
(2) 的各阶顺序主子式都为正,即 .
(解) (法一) 对应的对称矩阵为 正交相似于一个对角矩阵,该矩阵的主对角元为 的特征值.
计算 的特征多项式,得
因此, 的特征值为 .
由于 ,故若 的正、负惯性指数分别为 ,则 解得 . 应选 C.
(法二) 如法一,写出 .
由于二次型 的正、负惯性指数分别为 1,2,故 的特征值有一个为正值,两个为负值,从而 .
计算 的行列式.
由于 ,故 ,即 . 由此可以排除选项 B 和选项 D.
另一方面,若 ,则 的各阶顺序主子式皆为正. 由正定矩阵的判别法可知, 为正定矩阵,从而 的正惯性指数为 3 . 与 的正、负惯性指数分别为 1,2 矛盾, 故可排除选项 A.
因此,应选 C.