题15

题15

题目

[!question]+
已知函数 ,记 .
(I) 求 的值;
(II) 若当 时, 与 是同阶无穷小量,求常数 的值.

分析

[!NOTE]+
关键还是因式分解

解

[!done]-
解 (I) 为 型未定式,可通分写成 型未定式.

考虑 .

或者,利用 ,可得

因此,

( II ) 由第( I ) 问得, ,故 .

若 与 是 时的同阶无穷小量,则 为一非零常数.

下面用两种方法来求上面的极限.

(法一) 利用洛必达法则.

要使上面的极限等于非零常数 必须等于 1,即 . 此时 .

(法二) 利用等价无穷小替换.

若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 .

因此, ,即 .