例3.18

例3.18

题目

Q:题8，设 为 阶矩阵,记 为矩阵 的秩, 表示分块矩阵,则 ( ) .
(A)
(B)
(C)
(D)

分析

A:站在初等变换的角度上，把矩阵乘法理解为对矩阵元素的线性组合，而矩阵的秩就是极大线性无关组中的元素个数，那么就是要让凑起来的矩阵的极大线性无关组里线性无关的元素，去到新的一行中，这个秩就变大了，就无法相等了
(A)

• 正确。
  • 从矩阵乘法的角度： 的列向量是 的列向量的线性组合。也就是说， 的列向量空间已经被包含在 的列向量空间内。
  • 从极大线性无关组的角度： 这意味着，将 和 组成新的矩阵 时，不会增加新的线性无关的列向量。
  • 结论： 因此， 的秩与 的秩相同。
    (B)
• 错误。
  • 反例： 令 , ， 则 ， ， 。
  • 解释： 的列向量是 的行向量的线性组合， 并不一定能被 的列向量线性表出，因此可能引入新的线性无关向量，导致秩增加。
    (C)
• 错误。
  • 反例： 令 , ， 则 ， 但 。
  • 解释： 和 的列向量可能线性无关，即使它们各自的秩都小于合并后的矩阵的秩。

解

记 。由于右乘矩阵表示对矩阵作列变换，故 的列向量可由 的列向量线性表示。于是，。因此，应选 A。
下面分别说明选项 B、C、D 不正确。
选项 B：。但是， 并不成立。
取 ，，则 ，。，但 。
选项 C：。但是， 并不成立。
取 ，，则 ，，但 。
选项 D：由于 ，而 ，故 。但是， 并不成立。
取 ，，则 ，。，但 。