例13.27

例13.27

题目

Q:P313 如果函数在点处连续,那么下列命题正确的是 ( ).
(A) 若极限存在,则在点处可微
(B) 若极限存在,则在点处可微
(C) 若在点处可微,则极限存在
(D) 若在点处可微,则极限存在

分析

A:例13.19中的重要结论，也是属于重要的全微分母题，和老头的反例放在一起看题6
又出现了绝对值，和分母上可能取0，考虑是否有定义来进行判断

解

注意B和D的区别，可微不能反推

【解】应选(B).
法一 直接法. 因为函数 在点 处连续,若极限 存在,则 ,极限 存在,又由于 ,故必有 ,所以 在点 处可微,且 .
法二 排除法. 对于 ,取函数 ,满足题设条件,但 在点 处不可微 (点 处的偏导数不存在).
对于 (C),(D),取函数 ,满足题设条件,但 和 都不存在.