题120

题120

题目

Q:设A和B均为n阶实矩阵,则以下命题正确的有

1. 若A和B均可以相似对角化,则AB也可以相似对角化。
2. 若A和B均为实对称矩阵,则AB可以相似对角化。
3. 若A能相似对角化,且AB=BA,则B也可以相似对角化。
4. 若A有n个各不相同的特征值,且AB=BA,则AB可以相似对角化。

分析

A:02:30，更多可见线代杂题120辨析@20241011_235905
第四个应该肯定是对的，我记得这个结论：若 有 个互不相同的特征值, 且 , 则 可以相似对角化。

解

• 对于第四个命题
  
  
  假设 是 的属于特征值 的特征向量，则有 。
  对等式两边左乘矩阵 ，得到 。
  由于 ，所以上式可以改写为 。
  现在我们来研究 是否为零向量：

1. 若 ，则 是矩阵 对应于特征值 的特征向量。
2. 若 ，则由 可知， 是矩阵 对应于特征值 的特征向量。由于 有 个互不相同的特征值，所以 是 的一个单根，其几何重数为 ，即 对应于 的线性无关的特征向量只有一个。又因为 是 对应于 的特征向量，所以 与 线性相关，即存在常数 使得 。
   综合上述两种情况，可以得出结论：若 是 的特征向量，则 也是 的特征向量。
   又因为 有 个互不相同的特征值，所以 有 个线性无关的特征向量。根据上述结论， 也有这 个线性无关的特征向量。
   令 ，其中 是 的 个线性无关的特征向量，则 是可逆矩阵，且有：
   
   
   其中 和 均为对角矩阵。
   将上述两个等式的等号左边相乘，等号右边相乘，得到：
   
   
   由于对角矩阵相乘仍为对角矩阵，所以 可以相似对角化。

• 对于第1、2、3个命题，通过举出反例来证
  
  对于命题 1 和命题 2，可以举出如下反例：
  
  和 都是实对称矩阵，可以相似对角化，但是：
  
  的特征值均为 ，只能找到一个线性无关的特征向量，所以 不能相似对角化。
  对于命题 3，可以举出如下反例：
  
  其中 为单位矩阵。显然 ，且 可以相似对角化，但是 不能相似对角化。

1. 若 有 个互不相同的实特征值，且 ，则存在;;可逆矩阵 使得 和 均为对角矩阵，其中A和B都是对角矩阵

2. 在相似对角化上，若 有 个互不相同的特征值，则;;A可相似对角化

3. 若 ，且 ， 为 的非零解向量，则有;; ， 线性相关，有 ，都在会被压缩到零空间的那条直线上

4. 特征值的几何重数和代数重数的大小关系;;几何重数 代数重数.