题18 题目 [!question]+ 已知常数 . 证明: . 分析 [!NOTE]+ 变换主元，以k为主元，这是关于k的一次函数，可以简化计算 解 [!done]- 要证明的结论等价于 与 同号,并且通过观察可知,当 时,不等式的左端等于零,故可以考虑构造辅助函数 ,并证明其与 在 内同号,即 在 内小于等于零,在 内大于等于零. 证 ,则 , 由于在 内, ,故若能证明 在 内非负,则 在 内非负,从而 在 内单调增加. 考虑函数 . 当 时, ; 当 时, 单调减少; 当 时, 单调增加. 于是, 在 处取得 内的最小值,最小值为 . 当 时, ,从而 在 内非负且仅当 时等于零. 因此,在 内, 在 内单调增加. 又因为 ,所以当 时, ; 当 时, ,从而 与 在 内同号. 由于 与 在 内同号,故 ,即 . 注 . 通过计算 来分析 在 内的单调性的做法, 其计算过程较复杂, 不推荐使用.
