例1.12 题目 Q:已知 ,求 . 分析 A:这是在求在0处的右导数 有哪些方法可以求右导数呢？ 先分析一下它在0处的值看看 邂逅遗憾04:52 ln自变量里面有根号，一定要把根号拿出来变成系数 葫芦在这里给了一个结论， 这本质上是一个求积分，然后用定义，求极限的 除了上面这个，还有导数极限定理 解 Misplaced &\begin{array}{cc}{\text{当}x>0\text{时}}\end{array} \\ f(x)& =\int_{0}^{1}\ln\sqrt{x^{2}+t^{2}}\:\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(x^{2}+t^{2})\:\mathrm{d}t=\frac{1}{2}t\cdot\ln(x^{2}+t^{2})\Bigg|_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t\cdot\frac{2t}{x^{2}+t^{2}}\:\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)-\int_{0}^{1}\frac{t^{2}}{t^{2}+x^{2}}\:\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)-1+x\arctan\frac{1}{x}\:, \end{aligned}$$ $$\text{又}f(0)=\int_{0}^{1}\ln t\:\mathrm{d}t=t(\ln t-1)\bigg|_{0}^{1}=-1\:，\:\text{故}f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+x\arctan\frac{1}{x}}{x}=\frac{\pi}{2}\:.$$ 
