题7 题目 [!question]+ 设 4 阶矩阵 不可逆, 的代数余子式 为矩阵 的列向量组, 为 的伴随矩阵,则方程组 的通解为 ( ) (A) ,其中 为任意常数. (B) ,其中 为任意常数: (C) ,其中 为任意常数. (D) ,其中 为任意常数. 分析 [!NOTE]+ 解 [!done]- 要求 的通解，需知道 的秩以及 的基础解系。 本题需要用到如下结论。 设 是 维向量， 是 维向量，令 其中 是 维向量。若 线性无关，则 线性无关；反之，若 线性相关，则 线性相关。 (解) 由 不可逆可知，。于是，。从而， 的列向量均为 的解。 另一方面，，说明 中有非零元素，。又因为 不可逆，所以 。但是当 时，。因此，。 的基础解系中包含 3 个解向量。 由 可知，。于是， 线性无关。由分析中的结论可知， 线性无关，从而构成 的一个基础解系。 因此， 的通解可写为 ，其中 为任意常数。应选 C.
