特征多项式

设 是 阶矩阵, 是一个数,若存在 维非零列向量 ,使得

则称 是 的特征值, 是 的对应于特征值 的特征向量.

【注】由①式，得

因 ,故齐次方程组 有非零解,于是

②

②式称为 的特征方程,是未知量 的 次方程,有 个根 (重根按照重数计), 称为特征矩阵, 称为特征多项式. 求出 后,代回 ,得 ,求解此方程组,得出的非零解均为矩阵 的属于特征值 的特征向量.

好的，我们来讨论如何计算特征值对应的特征向量。

1. 回顾定义

首先回忆一下特征值和特征向量的定义：对于一个矩阵 ，如果存在一个非零向量 和一个标量 ，使得

成立，那么我们就称 是矩阵 的一个特征值， 是矩阵 对应于特征值 的一个特征向量。

2. 推导出求解特征向量的方程

将上面的公式进行简单的移项变换，可以得到：

其中， 是单位矩阵。

3. 求解齐次线性方程组

上面的公式实际上是一个齐次线性方程组，也就是说，我们要求解的是使得 成立的非零向量 。

4. 具体步骤

总结一下，求解特征值 对应的特征向量的步骤如下：

a. 将 代入
b. 通过高斯消元法等方法将系数矩阵化简为阶梯型矩阵
c. 得到方程组的基础解系
d. 基础解系中的每个向量都是对应于特征值 的特征向量

举例说明

我们以矩阵 为例，演示如何计算其特征值 对应的特征向量：

1. 代入特征值

   将 代入 ，得到：

2. 化简系数矩阵

   使用高斯消元法，我们可以将系数矩阵化简为：

3. 求解基础解系

   化简后的方程组为 ，可以得到基础解系为：

   其中 为任意非零常数。

4. 得到特征向量

   因此，对应于特征值 的特征向量为任意非零常数 乘以 ，即 。