题21

题21

题目

[!error]+
设函数 在 内具有 2 阶连续导数,证明: 的充分必要条件是对不同的实数 .

分析

[!NOTE]+
这里一下子跨越了两层，题目只给了原函数和二阶导的关系，只有泰勒公式可以一下实现这个跨度；另一方面，还有一个思考的维度，在于题目给的是两个参数a,b的式子，我们定一个参数为主元x，然后再以一元的视角处理，最后再利用拉格朗日中值定理来处理导数，把一阶导转换到二阶导。另一方面我们证明充分性，考虑题目设置的任意性，应该用反证法，再利用导数极限定理，把一点处函数的性质，转换为极限也就是，局部的保号性，进而推广为区间来处理
本质上是琴生不等式+函数的凹凸性，我们在题4中会直接使用这个结论

解

[!done]-
必要性的证明要求由 是 上的凹函数推导出函数 在任一区间 中点处的取值不超过其在区间 上的平均值,这一点通过几何直观是比较容易发现的. 要说明这一点,可以考虑使用 在点 处的一阶泰勒公式,也可以考虑利用变限积分构造函数不等式.

在得到必要性的证明之后,充分性的证明可以考虑使用反证法. 因为若假设存在 使得 ,则由二阶导数的连续性可得存在包含 的一个小区间 ,在该小区间上 . 这样一来,类似必要性的证明,可得对任意 内,均有 ,从而导出矛盾.

证 先证明必要性,即证明,若 ,则对不同的实数 .

(法一) 不妨设 . 在区间 上,使用 在点 处的一阶泰勒公式.

其中 介于 与 之间.

将 (1) 式代入 ,可得

注意到

故

结合 可得 ,即 .

(法二) 不妨设 等价于 .

令 ,则 ,且

其中 .

由于 ,故 单调不减,从而 ,即 . 于是,对 在 上单调不减.

又因为 ,所以 ,即 .

下面证明充分性,即证明,若对不同的实数 ,则 .

(法一) 反证法.

假设存在 ,使得 ,由二阶导数连续可得 ,结合极限的局部保号性可知,存在 ,在区间 内,均有 . 从而取 ,可得在 上,均有 .

在区间 上重复必要性中的做法.

其中 介于 与 之间.

于是,

结合 可得 ,即 . 这与前提矛盾.

因此,假设不正确. 在 上恒非负.

(法二) 若对不同的实数 ,则对任意实数 以及任意 ,

均有 ,从而 . 而

号 ,

故由极限的保号性可知, .

由 的任意性可知,对不同的实数 是 的充分条件.

综上所述, 的充分必要条件是对不同的实数 .