例3.12

例3.12

题目

Q:P50 设 为 阶非零矩阵, 为 阶单位矩阵,若 ,则 ( ) .
(A) 不可逆, 不可逆
(B) 不可逆, 可逆
(C) 可逆, 可逆
(D) 可逆, 不可逆

分析

A:矩阵的幂可以用特征值和特征向量的定义来反复代入转化为矩阵多项式的乘法，回忆一下特征值和特征向量的定义。
对于一个 阶矩阵 ，如果存在一个非零向量 和一个数 ，使得：

那么我们称 是矩阵 的一个特征值， 是矩阵 对应于特征值 的一个特征向量。
从 推导特征值为 0
现在，我们来看看如何从 推导出 的特征值为 0。

• 假设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个特征向量。
• 根据定义, 我们有 。
• 两边同时左乘 ，得到 。
• 重复以上步骤, 两边再同时左乘 ，得到 。
• 因为 ，所以我们有 。
• 由于 是特征向量，是非零向量，所以我们必须有 。
• 因此, 。
  所以，我们证明了如果 ，那么 的特征值只能是 0。
  回答你关于选项的问题：
  因为 的特征值只能是 0，所以：
• 的特征值为 1，行列式不为0，可逆。
• 的特征值为 1，可逆。
  所以答案是 (C) E - A 可逆, E + A 可逆 。
  这里的条件 对应着说这是一个幂零矩阵
  另一方面让我想起来了，幂等矩阵的特征值只可能是 0 或 1，其中的推导和这里是相似的

解