题20

题20

题目

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已知可微函数 满足 ,且 .
( I ) 记 ,求 ;
( II ) 求 的表达式和极值.

分析

[!NOTE]+
多元复合函数的微分+偏积分的考法，这个题思路是写对了的，但是没再第二问用上第一问的结论，而是自己固执地对着在积分

张宇的强化里面我们见过：例13.44

解

[!done]-
第 (I) 问实际上是要求 ,利用链式法则计算即可.

第 (II) 问中,可由第(I) 问先求得 的表达式,再通过换元 并整理得到 的表达式,接下来根据二元函数极值存在的充分条件计算极值即可.

解 (I) 根据链式法则,

令 ,并代入 可得

因此, .

(II) 通过积分先计算 ,即 的表达式.

其中 为关于 的一元函数.

令 可得

代入 可得 . 于是,

计算 的驻点.

解 两式相减得 ,将 代入 可得 ,从而

或 . 和 为该方程组的两组解.

因此,点 和点 为 的全部驻点.

计算 的二阶偏导数.

对点 ,

由于 ,且 ,故点 为 的极小值点,极小值为 .

对点 ,

由于 ,故点 不是极值点.

综上所述, 有极小值,极小值为 .

(注) 也可以如下计算 的表达式,从而得到 .

一方面, ,另一方面, , 故 . 于是,

令 可得