题15

题15

题目

设函数 . 若 与 在 时是等价无穷小,求 的值.

分

解

解 由于 中 的次数为 3,故可考虑写出 在 处的 3 阶泰勒公式.

由 ,

可得

记 . 由等价无穷小量的定义知 .

首先, . 当 时,若 存在,则必有 否则 . 解得 . 又因为 ,所以 .

综上所述, .

注 ① 由 可得 。注意到 也是 的高阶无穷小量,因此在写 的 3 阶泰勒公式时，并没有出现 这一项.

② 注意: 在乘除法中可使用等价无穷小替换, 但在加减法中, 等价无穷小替换要慎用.

在乘除法中可以使用等价无穷小替换是因为,若当 时, ,则

若如下使用等价无穷小替换 ,

则会得到仅当 时,上式的极限存在,且等于零. 这与 矛盾.