题18

题18

题目

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已知 ,求 的凹、凸区间及渐近线.

分析

[!NOTE]+
拐点和函数的凹凸性，这里我计算得非常混乱，要注意。另一方面，我们算渐近线的时候，写成线性部分+曲线的形式，线性部分就是渐进线，如果可以整理成这种形式，就算得更快一点

解

[!done]-
(1) 要求 的凹、凸区间,只需计算 并判断其符号即可.

(2) 要求 的渐近线,按照求渐近线的一般步骤计算即可.

设函数 在 上连续,在 内二阶可导. 若在 内 ,则曲线 在 上凹; 若在 内 ,则曲线 在 上凸.

解 为分段函数,其分段表达式为 进一步将 整理可得

当 时,

当 时, 为凹区间.

当 时,

当 时, 为凹区间; 当 时, 为凸区间.

因此, 和 为 的凹区间, 为 的凸区间.

下面计算 的渐近线.

(1) 由于 ,故 为 的铅直渐近线.

(2) 由于当 时, ,故 没有水平渐近线.

(3) 分别考虑 在 与 时的斜渐近线.

于是, 为 在 时的斜渐近线.

于是, 为 在 时的斜渐近线.

因此, 共有 3 条渐近线: 与 .