题12

题12

题目

[!question]+
曲线 的极坐标方程是 ,则 在点 处的切线的直角坐标方程是

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
同一条曲线在不同坐标系下有不同的表示方程. 转化的关键在于利用 与 之间的关系.

解 (法一) 由 以及 得, 于是,根据由参数方程确定的函数的求导公式,

于是, .

由坐标变换公式得,极坐标系下的点 对应直角坐标系下的点 . 因此,所求切线的点斜式方程为 ,即 .

(法二) 曲线 是阿基米德螺线. 这是一条光滑曲线.

由 可得,当 时, . 将该曲线方程写成直角坐

标系下的形式,可得 ,即当 时,曲线 的直角坐标方程为 . 由 ,得 . 虽然点 并不满足该方程,但由于曲线光滑,故该点处的斜率等于 .

对 两端关于 求导得

化简得

由 (1) 式可得 . 令 ,并代 ,可得

因此,所求切线方程为 ,即 .