题21

题21

题目

[!question]+
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 具有二阶连续偏导数,且 , ,其中 ,计算二重积分

分析

[!NOTE]+
没读懂这个题目，我在考虑对称性的事情，但是实际上不是，因为这里没有具体可以拿出来对称的函数

解

[!done]-

一般来说,给定一个二重积分 ,在直角坐标系下,将该二重积分改写成二次积分时,有两种不同的积分次序,先对 积分后对 积分或者先对 积分后对 积分,这取决于积分区域的形状. 因此, 要解决二次积分的积分次序变换问题, 首先得写出其对应的二重积分的积分区域.

(解) 由于 是 对 的偏导数,故对每个固定的 .

由于 ,即一元函数 是关于 的常函数,故 . 又由于 为矩形区域, 故交换二次积分的积分次序可得,

从而，