可交换矩阵AB=BA

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AB可交换，AB都可以做相似对角化，而且是同一个可逆矩阵P的作用下实现的，在例8.13中证明了它，在例8.12中运用了

Q:AB的矩阵乘法，可以写成他们的线性组合，那么
A:AB可交换前后顺序

结论1：无论可变换与否，和为方阵时，与有==相同特征值。==

Q:下面称作西尔维斯特定理
结论2：更进一步，若有：

A:
当 时，得到更特殊的结论1。
定理的证明是显然的，注意到：

两侧取行列式，定理得证。

Q:能够得到矩阵可交换的常用条件：

为方阵情况如下，AB的乘积可以写成线性组合的形式：
A:存在不为 的 与 ， ⇒

.
上面这个条件A和B可以分解开组合起来，可以得到AB是可交换的，但是反过来，由可交换是不能得到AB可以拆开的这个条件的

Q:可交换矩阵的特征值、特征向量关系
A、B为n阶方阵，且AB=BA，则有：
A:(注：1需要掌握，2、3可作为拓展视情况而定)

1. A与B存在公共特征向量，注意，只是说有相同的，不是全都是一样的
2. 对A的任一，存在A对应于λ的特征向量x，和B的特征值μ，使得为AB的特征值，且x为B对应于μ，AB对应于λμ的特征向量
3. 对AB的任一，存在AB对应于λ的特征向量x，和A的特征值λ1，B的特征值λ2，使得x为A对应于λ1，B对应于λ2的特征向量，且

Q:习题 1：设 ， 均为 阶方阵， 有 个不同特征值，则 充要于 与 特征向量相同
A:我们要证明的是：如果 有 个不同特征值，那么 等价于 和 有相同的特征向量。
(1) 必要性： 与 特征向量相同。
(2) 充分性： 与 特征向量相同
3. 分步推理:
(1) 必要性：

• 假设： ， 有 个不同特征值。
• 目标： 证明 和 有相同的特征向量。
• 推理过程:
  1. 设 是 的任意一个特征值， 是 对应的特征向量，即 。
  2. 对等式两边左乘 ，得到 。
  3. 由于 , 所以 。
  4. 因此，我们有 ，这意味着 也是 对应于特征值 的特征向量。
  5. 由于 有 个不同的特征值，每个特征值对应唯一一个线性无关的特征向量。因此， 必定与 线性相关，也就是说，存在一个常数 ，使得 。
  6. 这意味着 也是 的特征向量。
  7. 由于 是 的任意特征值，因此 的所有特征向量都是 的特征向量。
     (2) 充分性:
• 假设： 与 有相同的特征向量。
• 目标： 证明 。
• 推理过程：
  1. 由于 有 个线性无关的特征向量，我们可以找到一个由这些特征向量组成的可逆矩阵 ，使得 可以被对角化，即 ，其中 是一个对角矩阵，其对角线元素为 的特征值。
  2. 由于 与 有相同的特征向量，所以 也可以被同一个可逆矩阵 对角化，即 ，其中 是一个对角矩阵，其对角线元素为 的特征值。
  3. 现在，我们可以计算 和 ：
  4. 由于对角矩阵的乘法满足交换律，所以 。
  5. 因此，我们得到 。
     

习题 2: 设 , 均为n阶方阵， 可逆，有：

1. 证明:
2. 证明: 与 有相同的特征值
3. 与 是否相似?
   证明
   ⇒
   
   
   判断左边的系数不为0，除到右边来就得到了定义的形式