题17

题17

题目

[!question]+
设函数 由参数方程 所确定，其中 具有 2 阶导数，且 ,已知 ，求函数 .

分析

[!NOTE]+
参数方程求导+一阶线性微分方程的混合问题，这里注意两个问题，把的时候，我们把解出来以后，可以马上使用初值条件，把第一个待定的常数C1解出来，然后再去积分得到
我做的时候，抄掉了很多东西，导致算错了

解

[!done]-
求由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数 若函数由参数方程 确定, , 均二阶可导,且 ,则

将 展开,可得

解 由参数方程, 可得

由 得,

这是一个可降阶二阶微分方程. 令 ,对该方程降阶并整理,得

由一阶非齐次线性微分方程的求解公式得,

其中 为待定常数.

由 得, ,得 . 从而 .

对 积分,得

代入 ,得 .

因此,