抱歉，好久没有写文章了，这段时间很多事，心情也不太好。恰好跟人讨论到这个我自己都很久没再提起的东西了，就找到当时的笔记，写出来图一乐。建议 pc 端或浏览器查看。
大家学习分析学的时候，连续性、极限是很重要的一些概念。而在求极限的时候，洛必达法则是简单好用的一种技巧。
然而有时候出于某些情况，比如函数不连续，求导没意义 (越导越复杂)，让洛必达法则失效。对于前者往往需要去构造一些定义或者定理解决，后者一般采取级数展开的方式解决。
但看起来这些都稍显复杂，并且当时的我觉得这并不 “分析精神”。于是我自己开发出了一种基于等价无穷小的方法，它可以代替所有需要级数展开的方案，也可以通过引入辅助函数来改善原函数的渐进性质，解决函数连续性的问题。
我在大一时开的高数大物学习班里，就向学会的同学们讲过这种方法。总结成一句话就是：
等价无穷小的求导或积分，仍然是等价无穷小。
然而这并不严格。因为实际上这是交换了极限顺序，需要保证原式具有一致性。但在大多数情况下这并不是多么严重的问题，就像我们解微分方程时可以任意丢弃性质不好的解一样。
看起来这么简单的一句话，其实背后依赖的是分析学关于无穷的理解。
1. 无穷量与它的阶
我刚上大学那会儿热衷于非标准分析学，这个领域探讨的很重要的一个话题就是，什么是无穷。
目前来讲，有三种看法。
一种认为所谓的无穷就是趋近速度，比如我们认为
另一种是认为，无穷是一种关系，是两个数差距过大以后的一种代数关系。
最后一种，也是我比较赞同的，无穷是一种特殊的数，无穷小和无穷大是两个共轭的代数空间。在它们上面可以建立一种特殊的、基于无穷量的代数学。
我这里当然无意深入讨论这个话题，但总之，无穷是存在阶的，毕竟确实存在
也是在这个基础上，我们定义出了所谓的 “等价无穷小”，即相除后的极限为 1 的一对或一组无穷小。
例如
我们于是得到一组平时非常常用的等价无穷小
它们之间可以随意替换。只要愿意，我们还可以把这个写得更长。
虽说上面说的等价无穷小求导也是等价无穷小，但对
下面就是积分，根据
其中积分常数是用来确保式子仍然是无穷小的。
并且这里我们发现，两个同阶无穷小相减会得到一个更高阶的无穷小，这是因为无穷小的减实际上是微分。
但无穷小的加仍然满足忽略高阶，合并同阶的性质。如
这里再举一个例子，我们经常碰到
而这些替换可以大大降低运算量，甚至免除级数展开的烦恼。
2.一个重要技巧
在一些需要级数展开的题中，往往存在这样两种关系
我们就想，既然
我们先看一个案例
而显然根据
了一个因子。于是我们现在开发一种确定因子的办法。引入
同时求导并令它们相等，得
此时是可以反解
即
这里再举一个有意义的例子，
首先，这个并不能通过添加+1-1来解决问题，因为最后得到的结果是同阶无穷小减
同阶无穷小，直接看并不知道到底是多少。
先研究它的导数
于是
即
完毕。