题3.9

题3.9

题目

证明: .

分析

题3.2中有和这个相似的结论

解

好的，让我们来证明 ，并尝试从几何角度理解它。

步骤一： 理解矩阵和线性变换的联系

首先，我们要明确：矩阵代表着一种线性变换。一个 的矩阵 ，可以看作是一个从 维空间到 维空间的映射。

步骤二： 理解矩阵乘法的几何意义

矩阵乘法 代表着先进行 所代表的线性变换，再进行 所代表的线性变换。

步骤三： 理解秩的几何意义

矩阵的秩 代表着 所代表的线性变换，将一个空间映射到的目标空间的维度。如果一个 的矩阵 的秩为 ，那么经过 的变换， 维空间会被映射到一个 维的子空间中。

步骤四： 证明不等式

现在，让我们用这些理解来证明不等式：

• 因为 代表先进行 的变换，再进行 的变换，所以 的秩不可能超过 的秩。也就是说， 。

• 我们还可以换个角度思考： 的每一列，都是 的列向量的线性组合。因此 的所有列向量，都位于 列向量所张成的空间中，所以 的秩不可能超过 的秩。也就是说， 。

综合以上两点，我们就证明了 。

几何角度的理解

想象一下，你有一个三维的物体，你对它进行两次“拍扁”操作。

• 第一次“拍扁”由矩阵 表示，它可能把三维物体拍成一个平面（二维）或者一条线（一维）。
• 第二次“拍扁”由矩阵 表示。
• 最终的结果由 表示。

无论 怎么“拍扁”，最终的结果的维度都不可能超过第一次“拍扁”后的维度。这就是 的几何意义。

同时， “拍扁”后的结果，所有可能的形态都由 的列向量所张成的空间决定。最终的结果，只能是这个空间中的一个子集，所以它的维度也不可能超过 列向量所张成空间的维度。这就是 的几何意义。