题14

题14

题目

[!question]+
设二次型 的负惯性指数为 1,则 的取值范围是___

分析

[!NOTE]+
这里应该把惯性指数转化为特征值的正负，再转化为行列式和矩阵的迹的计算，如果直接算特征多项式，同时带着和，算起来十分麻烦，我这里就掉入了这个陷阱里

解

[!done]-
解 (法一) 用配方法将原二次型化为标准形.

因此,若二次型 的负惯性指数为 1,则 ,即 .

(法二) 写出二次型 对应的对称矩阵 .

计算 的行列式得, .

的迹等于零,说明 的特征值之和为零.

下面我们证明,当 3 阶非零实对称矩阵 的迹为零时, 的负惯性指数为 1 等价于行列式 .

当 3 阶非零实对称矩阵 的迹为零时,由 的负惯性指数为 1 可知, 的特征值可能为两正、 一负,或者一正、一零、一负. 在这两种情形下, .

若 为 3 阶非零实对称矩阵,且 ,则 的特征值的符号有五种可能:
(1) 两正、一负;
（2）一正、一零、一负;
(3) 两零、一负;
(4) 三负;
(5) 全为零. 两个零特征值、一个负特征值与三个负特征值的情形与 的迹为零矛盾.
特征值全为零的情形与 是非零实对称矩阵矛盾,因为若 的特征值全为零,则 相似于零矩阵,从而 为零矩阵. 因此, 的特征值仅可能为两正、一负,或一正、一零、一负. 在这两种情形下, 的负惯性指数都为 1 .

综上所述, 的负惯性指数为 1 等价于 ,即 .