谱分解定理

谱分解定理用来反求实对称矩阵

设三阶实对称矩阵，若矩阵的特征值为，对应的单位化特征向量分别为且两两正交，则 。

注1在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
注2特征向量必须两两正交且单位化！
证明：三阶实对称矩阵 可相似对角化，存在正交矩阵 ，使得 。
所以有：。

什么时候运用谱分解定理最方使?
(1) 当特征值出现 时，运用定理可减少计算量(参见解法一);
(2) 当特征值出现二重根 时，可先运用定理计算出具体的 ，再算出实对称矩阵 (参见解法二);
(3) 运用该定理不需要求出所有的特征向量

【例】设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 是 A 的二重特征值，若 ，都是 A 属于特征值 6 的特征向量，求矩阵 A.

【解法一】由 可得特征值 ，将 进行单位正交化得：.
应用谱分解定理：

解法二
先求出 的另一特征值和对应的特征向量 ，，进行单位正交化：。
由于 的特征值为 ，，所以 的特征值为 ，，注意遇到对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 ，运用谱分解定理：



所以有：