题4

题4

题目

[!question]+
(4) 设 均是正整数,则反常积分 的收敛性 ( )
(A) 仅与 的取值有关.
(B) 仅与 的取值有关.
(C) 与 的取值都有关.
(D) 与 的取值都无关.

分析

[!NOTE]+
反常积分的问题，核心永远是，指数上的部分和1的大小关系
直接看这个视频，非常通透的做法

解

[!done]-
若存在常数 ,使得

存在,则反常积分 收敛; 若

则反常积分 发散.

解 由于被积函数有两个可能的瑕点, 和 ,故将原积分拆成两部分进行考虑.

先讨论 的收敛性. 考虑 .

当 为正整数时, .

• 当 时, 是被积函数的可去间断点, 在 上可积, 存在且有限.
• 当 时, 是被积函数的瑕点. 取 ,则 , . 由极限审敛法可知反常积分 收敛.

因此,不论 取何正整数,积分 均收敛.

下面讨论 的收敛性. 为被积函数的瑕点.

考虑极限

记

若 ,则

若 ,则

若 ,则 ,同理使用洛必达法则可计算得 .

因此,由极限审敛法知,不论 取何正整数,积分 均收敛.

综上所述,不论 取何正整数,积分 均收敛. 应选 D.

注 ① 在讨论 的收敛性时,当 时,可由

得出 收敛.

当 时,因为 ,所以仅由 (1) 式不能说明 收敛. 但

这并不能说明 的收敛性与 有关.

解析部分对 的估计更为精确一些,从而得到了正确答案.

② 证明 收敛时,我们取的是 . 事实上,任取 ,用同样

的方法可得 存在,从而得到 收敛.