例8.8

例8.8

题目

Q:P127 设 是 3 阶实对称矩阵,已知 的每行元素之和为 3,且有二重特征值 . 求 的全部特征值、特征向量,并求 .

分析

A:积累一个写特征多项式的手法，就是这里的每行元素之和如何表示，应该写成，这就和定义的式子对应了，左边是特征向量，右边是特征值倍数的特征向量
拿到这个第一个特征向量以后，可以利用不同特征值的特征向量正交来得到后面两个向量，保证正交和有一组基

解

【解】法一 是 3 阶矩阵,每行元素之和为 3,即有

故知 有特征值 ,对应的特征向量为 ,所以对应于 的全部特征向量为 ( 为任意非零常数).
又 是实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量正交,故设 对应的特征向量为 ,于是

解得 的线性无关的特征向量为

所以对应于 的全部特征向量为 ( 为不全为零的任意常数).
取 ,则 ,故

其中 可如下求得:

则 ,故