上图是大家熟悉的救生圈，如何求它的体积呢？理想的救生圈图形是“圆环面”包围的立体图形，可以这样简单地想象为：手拿一枚硬币（圆），绕着与其在同一平面的相离的一条固定轴线旋转，所形成的空间立体图形。
救生圈的体积就是上述圆面积乘以圆心绕轴线一圈的长度（周长）。应该说这个想法非常朴素直观，结论非常好记，推广到一般的平面几何图形旋转一周生成的旋转体体积，都可以类似计算，即：
以平面图形绕同一平面上的任何一条与该图形不相交的直线旋转一周所产生的体积，等于图形的面积乘以其重心到直线的距离为相应半径所画的圆周长。这就是古尔丁定理。
古尔丁定理又称帕普斯几何中心定理。它最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·古尔丁又重新发现了这个定理。
今天我们重温一下旋转体积分求体积，重心公式，推导一下古尔丁定理，说明一下古尔丁定理比较适用的一些场合，最后重做下昨天一讲的旋转体体积求解。
研究对象，如下XOY平面几何图形，绕y轴旋转（与y轴不相交），求所形成旋转体体积。
旋转体体积可以如下求解，垂直于轴线的方向上切成许多薄片，每个薄层是环形，许多的薄层累积成旋转体。每一薄层环形面积乘以高度微元dy就是体积微元dV，最后沿着y方向累加积分，就可以算出体积。昨天一讲就是按照这个方法计算。注意下图中的r1和r2均表示成为y的函数。
今天为了推导古尔丁定理，换个方法：面积微元经过旋转一周后生成的微元体积，等于微元面积乘以乘以其旋转一周的路径长度（周长）。其实，这就是面积缩为无穷小（微元面积）的古尔丁定理，因为本身就是无穷小（或者看作一个点），就无所谓重心不重心的。
首先得接受这个原理，后面的推导都基于这个旋转原理。示意图和表达式如下。
利用这个方法，可以从另外一个角度计算旋转体体积，如下图，绕y轴旋转，可以将同一x处对应的竖直长条微元面积乘以2pix，就是对应的x处旋转一圈的微元体积。
上图旋转一曲的微元体积dV非常形象，就好像一个旋转体，在原来体积的基础上，在其表面再刷上一圈油漆。这么一直一层一层地刷上去，形成了最终的旋转体。把每一层体积加起来的过程就是积分计算的过程，结果如下：
古尔丁定理要用到重心，先来回顾一下重心公式。如下图，考虑几何图形重心的横坐标如何计算，方法就是每个微元面积乘以x（该面积到y轴距离）全部累加，就是积分，结果除以几何图形的面积。
为了方便起见，下图是将所有同一个x处的面积元直接算在一起（就是沿y方向已经算好高度）。也就是可以简单就将红色长条面积理解为微元面积，前面已经有这样处理过了。
由前面旋转体体积经过简单变形，直接可得古尔丁定理。
那么古尔丁定理在什么场合应用比较方便呢？答案就是像文章开头求生圈这种的，知道平面图形面积和重心位置的情况下，计算体积非常方便，如果是不规则几何图形，本来就不知道重心或者图形面积，为了使用古尔丁定理而特地积分求面积，再积分算重心，其实会多算了个面积的积分，从上面的推导过可以看到，面积S是消掉的，根本不用计算。所以如果是不规则旋转体，直接按层积分计算或者按旋转薄壳（分别就是今天说明的两种旋转体计算方法）积分计算即可。
除了救生圈体积求解，再举个算是比较简单的例子，验证圆锥体积。圆锥由如下平面直角三角形绕其一条直角边旋转一周生成。直角三角形面积易求，重心可以由三角形重心公式求解，于是利用古尔丁定理，圆锥体积可求。
如果你忘记了三角形公式，想重新积分计算中心了然后再用古尔丁定理求解体积，那千万别这样，还不如直接积分计算体积更方便。
最后我们回到昨天一讲的题目，题目简单说下，就是如下的圆环柱体，位置已经写在下图图片中。现在要求整个圆环柱体绕着y轴旋转一周得到的几何图形体积。详细见昨天这讲的链接：
黄老师讲数学（863）圆环柱体绕与其轴线垂直的轴旋转所得的体积
其实昨天这道题我觉得最难的部分在于空间想象，其他的都只是计算方法不同而已。最最关键的一步在于圆环柱体绕y轴旋转之后，与轴平面（如XOY平面）会交出什么几何图形。这也就是那个用于旋转的平面几何图形。图形和对应边界方程我都标在下图了（因为对称只画上半部）。应该说下图价值千金。怎么得到可以参考昨天一讲。
显然这是一个不规则的几何图形，因此根本没有必要用古尔丁定理解题了。昨天的方法其实就是将这个图形分层切片旋转，沿y轴积分。
今天就再用旋转薄壳（刷油漆）沿半径向外（取x方向）积分计算如下。稍微会麻烦一些。
古尔丁定理充分体现了微积分中**“点动成线，线动成面，面动成体”**的思想。大家可以思考下，如何利用古尔丁定理计算圆柱体积，或者去查一下半圆重心公式，再利用古尔丁定理计算球体体积等等。
也可以来个降维打击，思考一下如何利用古尔丁定理计算圆的面积，圆环的面积。