题19

题19

题目

[!question]+
已知函数 满足方程 及 .
(I) 求 的表达式;
(II) 求曲线 的拐点.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
(解) (I) (法一) 本题中有两个微分方程, 可先写出其中的二阶常系数齐次线性微分方程的通解, 再将该通解代入另一个方程以确定通解中的常数.

为二阶常系数齐次线性微分方程. 它的特征方程为 ,

有两个不同的实根 ,从而其解为 ,其中 为待定常数.

计算 得

代入 ,得 ,从而得 .

因此, .

(法二) 将两个微分方程联立, 得

(1) 式 - (2) 式得 ,为一阶非齐次线性微分方程. 由求解公式得

其中 为待定常数.

代回(2) 式, 得

从而 .

因此, .

(II) 代入 ,对 逐次求导,得

由于 ,故当 时, ,从而

同理,当 时, ,

当 时, .

因此,点 为曲线 的拐点.